ICMI的第一任主席克莱因(Felix Klein- The

2020-06-07作者:

所谓的 ICMI 是国际数学教育组织,每四年召开一次全球性的国际数学教育会议(International Congress on Mathematics Education, ICME)。明年(2012年),此一国际研讨会将在南韩召开,是国际数学教育界的一大盛事。

这个组织的第一任主席,就是伟大的德国数学家克莱因(Felix Klein, 1849-1925)。他出任的原因之一,当然有可能是因为他长期关心数学教育,因此,他以大数学家之尊「蹲下去」,应该在国际之间发挥了极大的影响力吧。

克莱因于1849年出生于莱茵河畔的杜索朵夫(Dusseldorf),青少年时代正是德国的资本主义经济迅束发展的时期,以普鲁士为中心的德意志帝国已经形成,经济实力也赶上了英国和法国。他毕业于杜索朵夫的古文中学(Gymnasium),1865到1866年期间他在波昂大学攻读数学和物理学,1868年拿到了博士学位。

为了进一步学习,他分别在哥廷根、柏林及巴黎等地游学好几个月,直到1870年普法战争,他被迫离开巴黎回到德国。1871年初他得到了哥廷根大学的不支薪讲师(Privatdozent)职位,1872年他任职耶尔郎根(Erlangen)大学的正教授职位,并在此发表着名的耶尔郎根纲领(Erlangen Programme)。1875年他又转往慕尼黑 (Munich) 工艺高等学校(Technisch Hochschule)任教,1880到1885年期间则在莱比锡 (Leipzig) 大学担任几何学教授。1885年之后,他回聘为哥廷根大学正教授,一直到1925年去世,终其余生都待在哥廷根。

不过,他的学术生涯中有几个经历或插曲,相当密切地关连到他的数学教育改革思维与实践,因此,我们在此稍加交代。至于有关他的杰出数学贡献,我们在此必须从略。

1872年,克莱因年仅二十三岁的年纪,便成为耶尔郎根大学的正教授。依照耶尔郎根大学的规定,每一位新进的教授除了就职演说外,还要出刊一份纲领,克莱因便提出了着名的耶尔郎根纲领。在此纲领中,他揭示群论在几何学研究的重要性,并且利用群的概念将当时几何学各分枝统一起来,一种几何学和一种群互相对应,所谓的几何学就是在所对应的群之变换下,探索图形性质不变的理论。事实上,他定义一般的几何学为:「给定一个流形(manifold)及其变换群(transformation group),研究此流形在此变换群作用下,不会改变特性的构形。」

十九世纪下半叶德国的工商业迅速发展。1875年,克莱因转到慕尼黑工艺高学校任较之后,开始了解到自然科学和工商业对数学的需要,从而体会到发展应用数学的重要性。他在对未来教师的讲授的课程中,就曾经包括画法几何学(descriptive geometry)、统计学与力学等。此外,1880年他在莱比锡大学的就职演说中,也强调应用数学的重要性。

在哥廷根时期,克莱因和一些自然科学,以及工业界人士共同创立哥廷根协会,来发展应用科学。这个协会在哥廷根创立了许多一流的研究所,使得这个组织成为德国二十世纪初期的主要科学研究中心。事实上,克莱因对于应用数学的关心,往后在他发起的数学教育改革运动中,也充分表露无遗。

1885年克莱因应聘来到拥有高斯、狄力却雷(Dirichlet)以黎曼(Riemann)等伟大数学传统的哥廷根大学。自从高斯以来,哥廷根的数学研究便兼重纯数学和应用数学的发展,而不同于柏林大学只注重纯数学理论的研究进路。1892年,克莱因开始领导哥廷根的数学研究,并且针对其数学、物理学教育制度、教育计划进行了很大的改革。1895年,他邀聘当时已经颇富盛名的希尔伯特(David Hilbert)来继承韦伯(Heinrich Weber)的职位。1902年,他向当时的教育部长提议增设一个数学教授席位,请来希尔伯特的朋友、数论大师闵考斯基(Minkowski)来担任数学教授。克莱因、希尔伯特和闵考斯基三人的数学成就,吸引了许多外国留学生到哥廷根来学习数学,至此,哥廷根已经成为了世界数学中心,并且在数学研究的水準上超越了柏林学派。

克莱因不仅是一位伟大的数学家,还是一位优秀的数学教育家。他所以能够吸引那幺多的学生来跟他一齐做研究,除了他的声名远播之外,另一方面,则是因为他上课的方式很有魅力。他习惯在上课时间的一个小时之前先到课堂上,将他原本準备好的讲义重新看过一遍,在自己的心中再整理一遍,等到上课的时候,他有条不紊的将数学式子和图形列在黑板上,因此,上完课之后,整个黑板所呈现的,是完美的数学结构。对于上课的主题,他会介绍给学生很多可供参考的资料,他教学的原则,是让学生自己去证明定理,他只提示一些方法,并且认为要学好课程的话,在课堂上一小时,在课堂外就需要花四小时来研读。

此外,他讲课擅长于综观全局,「他能在绝然不同的问题中,洞察到统一的思想,并有一种集中必要的材料来阐明其统一见解的艺术。」。而他的学生也同样提到他的讲义写得严谨、确实、清晰和优美,并且以统合的精神为基调,来引进数学知识与方法,深受学生欢迎。事实上,克莱因认为讨论班(seminar)可以刺激学术研究,讨论班的主要课题,通常是他正从事研究的问题。在讨论班上,他那丰富而多采的思想以及处理问题的进路,也完整地传给了学生。

1892年开始,两年一次在哥廷根召开的教师自然科学讲习班,也包括数学科在内。1895年,数理科学教育促进会的年会在哥廷根召开。克莱因以深入浅出的方法,为该会成员讲授古希腊几何三大问题。1898年成立哥廷根协会之后,在这裏参加讲习班的教师们接触到工业技术的尖端,也学到应用数学和物理学教育和研究的方法。同一年,在克莱因的建议下,该会更新了中等学校教职考核测验规定,将应用数学从纯粹数学独立出来,从此,应用数学在大学课程的地位逐渐巩固。

1900年之后,克莱因意识到数学教育改革,除了强化师资的培育工作之外,中学数学课程的改革,也是相当重要的一环。于是,在1900年的学校会议上,由于他的大力主张,普鲁士政府强调了应用数学的重要性,并要求中等学校讲授微积分和解析几何。1904年,克莱因对参加讲习班的中学教师发表演讲,更主张函数概念必须成为数学教学的中心,因此,「函数的思考方法」之说法,便逐渐传播开来。同一年,自然科学家会议在布雷斯劳(Breslau)召开,由于克莱因的提议而成立数理教育委员会,并委託包括他在内的十二人,写下在翌年(1905年)米琅(Meran)会议上公布的中学数学课程大纲。它的主要精神如下:

为了联繫初等数学课程和高等数学之间的关係,1908年克莱因出版了他的数学教育名着《从高观点看初等数学》(Elementary Mathematics from an advanced standpoint),其内容就包括了他的数学教育思想。

这些身体力行、现身说法的成就,使得克莱因也在数学教育领域内成就了非凡的事业。1908年第四届国际数学家大会(ICM)在罗马举行,会上正式通过一项提案,决定成立国际数学教育委员会(International Commission on Mathematics Education, ICMI),第一任主席就是克莱因。从1908到1914年中,在他领导下的ICMI做了大量的工作,这六年累积的各国数学教育情报告、以及在会议上的专题报告,乃是极为宝贵的数学教育史资料,至今仍不失其重要参考价值。

综观克莱因有关数学教育的关怀与实践,都与普鲁士时代的历史脉络息息相关,当然也离不开哥廷根的丰厚数学传统,以及他那高观点俯瞰初等数学与统合各个分支的进路。无论今日的数学课程发展或设计者如何试图呼应新时代的数学素养与能力,克莱因在百年前所揭示的「函数思想」与「空间观察」之能力,恐怕还是最合乎中道的主张。

参考书目 :

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